доказать что число 13n^2+1 не делится на 3 ни при каком n ∈ N

непонятно почему (13k² + 1) + 13(2k + 1) . Это было бы ясно, если бы 13(2k + 1) было бы всегда кратно 3, но это не так.

1. Пусть n=1, 13*1 + 1 = 14 не кратно 3. Предположим, что это условие верно для всех n ∈ N

2. Пусть n=k: 13k² + 1 -- не кратно 3, условие выполняется

3. Предположим, что n = k+1:  13(k+1)² + 1  = 13k² + 26k + 13 + 1 = (13k² + 1) + 13(2k + 1). Первая скобка не кратна 3 по 2-му пункту ⇒ и всё выражение не кратно 3 ⇒ условие 3 выполняется при любом n=k+1.

По математической индукции выражение 13n²+1 на кратно 3 при n∈N

Если n кратно 3, то факт очевиден.

Если n равно 3k-1 или 3k+1, то выражение равно 13*(9k^2-6k)+14 или  13*(9k^2+6k)+14,  любое из них на 3 не делится.

Примечание: факт верен, если вместо 13 стоит любое число вида 3н+1 или 3н и неверен если стоит число вида 3н-1.