Для любых действительных чисел a, b, c докажите, что:
а) если а + b ≥ 0, то a³ + b³ ≥ a²b + ab²
б) если ab > 0, то
[tex] \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geqslant 2[/tex]
в) если a > 0, b > 0, c > 0, то
[tex] \frac{ab}{c} + \frac{ac}{b} + \frac{bc}{a} \geqslant a + b + c[/tex]

я понимаю, что сумма квадратов. Но при умножении, как я понимаю, должно было получиться 2a²b²+2a²c²-2a²bc+2a²b² и тд

a^2b^2 + a^2c^2 - 2a^2bc + a^2b^2 + b^2c^2 - 2b^2ac + a^2c^2+b^2c^2 - 2c^2aba^2b^2 - 2 штуки 1 b 4 , a^2c^2 - 2 штуки 2 и 7, b^2c^2 - 5 b 8 и удвоенные другие

но там с двойкой только 2a²bc и 2b²ac

а, все, я поняла, спасибо

благодарю!!

если число больше 0, и оно есть в обеих сторонах неравенства, то мы можем на него сократить без изменения знака

1. a+b>=0

a^3+b^3 >= a^b + ab^2

(a+b)(a^2-ab+b^2) >= ab(a+b)   сокращаем на a+b при a+b = 0 это неравенство превращается в равенсто

a^2-ab+b^2 >= ab

a^2-2ab+b^2>=0

(a-b)^2>=0 квадрат всегда больше равен 0

2. ab>0

a/b + b/a >=2

a/b + b/a - 2 >=0

(a^2+b^2 - 2ab)/ab >=0

(a-b)^2/ab >= 0

ab>0 (a-b)^2>=0 первое по условию , второе по определению квадрата

3. ab/c + ac/b + bc/a >= a+b+c при a b c >0

(a^2b^2/abc + a^2c^2/abc + b^2c^2)/abc - abc(a+b+c)/abc >=0

знаменатель отбросим он всегда больше 0 a*b*c>0

2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 - a^2bc - b^2ac - c^2ab)/2 >=0

умножаем на 2 числитель и знаменатель

(a^2b^2 + a^2c^2 - 2a^2bc + a^2b^2 + b^2c^2 - 2b^2ac + a^2c^2+b^2c^2 - 2c^2ab)/2 >=0

(a^2(b^2-2bc+c^2) + b^2(a^2-2ac+c^2) + c^2(a^2-2ab+b^2))/2 >=0

(a^2(b-c)^2 + b^2(a-c)^2 + c^2(a-b)^2)/2 >=0

слева сумма квадратов деленное на положительное число, всегда больше равно 0