1) известно что а кратно 3, а б кратно 2. докажите, что 2а+3б кратно 6

2) докажите, что сумма квадрата целого числа и самого числа есть число четное

3) докажите, что 1³+2³+...+9³ не делится на 10

4) докажите, что любое натуральное число, десятичная запись которого состоит из 3n (n € N) одинаковых цифр, делится на 37

5) число а+1/а целое. докажите что числа а²+1/а², а³+1/а³ также являются целыми

6) в классе 27 учащихся. может ли каждый из них дружить ровно с десятью одноклассниками?

1)Если а кратно 3, то 2*а кратно 3*2 = 6.

Если b кратно 2, то 3*b кратно 2*3 = 6

Итак, 2*а + 3*b кратно 6.

2)Пусть a - целое число.

a^2-a=a(a-1). Проанализируем наш результат.

Если a нечетное, то a-1 - четное, а значит и произведение четно.

Если a четно, то произведение в любом случае будет четно.

3)Число делится на 10, если последняя цифра 0

1^3 последняя цифра 1

2^3 последняя цифра 8

3^3 последняя цифра 7

4^3 последняя цифра 4

5^3 последняя цифра 5

6^3 последняя цифра 6

7^3 последняя цифра 3

8^3 последняя цифра 2

9^3 последняя цифра 9

Складывая все эти цифры, получаем, что последняя цифра 5 =>

=> число  1^3+2^3+3^3+...+9^3 не делится на 10

4)не знаю

5)a²+1/a² = a²+2+1/a²-2 = a²+2*a*1/a+1/a²-2 = (a+1/a)²-2  

Т. к. a+1/a - целое, то и (а+1/а) ² - тоже целое и значит (a+1/a)²-2 - тоже целое.  

6)Если каждый из 27 учеников будет связан дружбой с 9 другими, то общее количество связей должно быть9 · 27 и это число нужно поделить на 2, так как каждую связь посчитали дважды.

(9 · 27) - это нечётное число, в сомножителях отсутствует 2. Значит, такого количества связей быть не может.

Ответ: Каждый из учеников не может дружить с 9 одноклассниками.