Решить уравнение.
[tex]9^{x} + 4^{x} =12^{x} +1[/tex]

нужно перенести все влево и разложить на множители...

второе из получившихся уравнений решается графически: обе показательные функции монотонно возрастают, потому решение (если оно есть) будет единственным...

task/29774019       Решить уравнение.   9ˣ +4ˣ  =12ˣ +1    

Решение:  9ˣ + 4ˣ =12ˣ + 1. ⇔(3ˣ)² - 1 + 4ˣ -12ˣ =0. ⇔ (3ˣ -1 )(3ˣ +1 ) -4ˣ( 3ˣ - 1) = 0 . ⇔(3ˣ - 1) (3ˣ+1 - 4ˣ) =0.  ⇔ [ 3ˣ -1  =0 ; 3ˣ + 1 = 4ˣ . ⇔ [ 3ˣ = 1 ; (3/4)ˣ + (1/4)ˣ  = 1 .                ⇔ [ 3ˣ =3⁰ ; (3/4)ˣ+(1/4)ˣ = 1 . ⇔

[ 3ˣ  = 3⁰ ; (√3 / 2)²ˣ+(1/2)²ˣ  = 1 . ⇔ [ x =0 ; 2x=2.

ответ :   0 ;   1.

(√3 / 2)²ˣ+(1/2)²ˣ =1  → (sinφ)²ˣ +(cosφ)²ˣ = 1 || здесь φ =60° ||  → 2x =2  ; x = 1.

по другому :  (3/4)ˣ+(1/4)ˣ = 1 ;  очевидно x=1  корень этого уравнения  можно обосновать , что нет других решений .  от противного

если  x < 1  ⇒   (√3 / 2)²ˣ + (1/2)²ˣ  > (√3 / 2)² +(1 / 2)² = 1

если  x > 1 ⇒   (√3 / 2)²ˣ +  (1/2)²ˣ > (√3 / 2)² +( 1/2)² = 1