решите уравнение.
[tex]9^{x} - 5^{x} = 4^{x} + 2(\sqrt{20} )^{x}[/tex]

task/29775857       Решить уравнение.   9ˣ +4ˣ  =12ˣ +1    

Решение:  9ˣ + 4ˣ =12ˣ + 1. ⇔(3ˣ)² - 1 + 4ˣ -12ˣ =0. ⇔ (3ˣ -1 )(3ˣ +1 ) -4ˣ( 3ˣ - 1) = 0 . ⇔(3ˣ - 1) (3ˣ+1 - 4ˣ) =0.  ⇔ [ 3ˣ -1  =0 ; 3ˣ + 1 = 4ˣ . ⇔ [ 3ˣ = 1 ; (3/4)ˣ + (1/4)ˣ  = 1 . ⇔

[ 3ˣ =3⁰ ; (3/4)ˣ+(1/4)ˣ = 1 . ⇔  [  x =0 ; x= 1.

ответ :   0 ;   1 .

Элементарно  можно  доказать , что  x =1  единственный   корень  уравнения  (3/4)ˣ + (1/4)ˣ =1 доказательство от противного:  допустим,что есть корни ≠ 1

* * *  y = (3/4)ˣ  и  y =(1/4)ˣ  убывающие  ,       0 < 3/4 <1  ;  0  < 1/4 < 1          * * *

а) x <  1.  в этом случае (3/4)ˣ >3/4 и (1/4)ˣ > 1/4 ,поэтому (3/4)ˣ + (1/4)ˣ  > (3/4) + (1/4) = 1    

б) x >  1 ,  3/4)ˣ < 3/4 и (1/4)ˣ < 1/4 ,поэтому (3/4)ˣ + (1/4)ˣ  < (3/4) + (1/4) = 1