решите уравнение.
[tex]9^{x} - 5^{x} = 4^{x} + 2(\sqrt{20} )^{x}[/tex]

task/29776801       Решить уравнение.   9ˣ +4ˣ  =12ˣ +1    

Решение: 9ˣ +4ˣ =12ˣ + 1⇔(3ˣ)²- 1 + 4ˣ -12ˣ =0⇔(3ˣ -1 )(3ˣ +1 )-4ˣ( 3ˣ-1) =0⇔ (3ˣ - 1) (3ˣ+1 - 4ˣ) =0. ⇔ [ 3ˣ -1 =0 ; 3ˣ +1 =4ˣ .⇔ [3ˣ = 1 ; (3/4)ˣ + (1/4)ˣ =1 . ⇔  

[  x =0 ; x= 1. ответ :   0 ;   1 .

Легко обосновать  , что  x =1  единственный   корень  уравнения  (3/4)ˣ + (1/4)ˣ =1  

допустим,что есть корни ≠ 1   ( доказательство от противного)

исходим из того, что   y = (3/4)ˣ  и  y =(1/4)ˣ  убывающие

а) x  < 1. (3/4)ˣ >3/4 и (1/4)ˣ > 1/4 ,поэтому (3/4)ˣ + (1/4)ˣ  > (3/4) + (1/4) =1  ;

б) x > 1. (3/4)ˣ < 3/4 и (1/4)ˣ < 1/4 , поэтому (3/4)ˣ + (1/4)ˣ < (3/4) + (1/4) =1 .

получили противоречие ,  значит предположение было неверно