Найти все целочисленные решения уравнения 4х-3y=-3

{ x = 3(k+1) ; y =4(k+1) +1. ⇔ { x = 3n ; y =4n +1 , n∈ ℤ.

Несмотря на разный вид ответов, они представляют собой одни и те же значения, только одинаковые решения будут при разных n и k. Например, при k=0: х=3, у=5. Это же решение получаем при n=1 .

Коэффициенты 4 и (-3) взаимно простые, то есть НОД(4;-3)=1   ⇒   уравнение имеет решение в целых числах.

Можно подобрать решение (x₀,y₀)  уравнения 4x-3y= -3 . Это будет  х₀=3 , у₀=5 . Действительно 4·3-3·5= -3   (2) .

Теперь вычтем из уравнения  (1) уравнение  (2), получим:

Так как нам нужны целые решения, то из последнего равенства следует, что (у-5) - целое. Так как 4 не делится на 3, то (у-5) - целое, если (х-3) делится на 3 нацело, то есть представимо в виде:  

 

task/29816389 Найти все целочисленные решения уравнения 4x - 3y = - 3

Решение 4x - 3y = - 3 ⇔ x  = 3*(y -1) / 4 ;  3 не делится  на 4 ,

поэтому   x ∈ ℤ,  если  (y - 1 )/4 = k ∈ ℤ ,  т.е.   y - 1 = 4k ⇔ y = 4k +1

ответ:   { x =3k ;  y =4k+1 , где  k любое целое число → k ∈ ℤ