найти х+х^-1 если x^3+x^-3=-18

task/29820372  Найти  x +x⁻¹    ,  если x³+x⁻³  = - 18

Решение   x + x⁻¹ =x+1/x ;  x³+x⁻³ = x³+ 1 / x³   Из  формулы

(a+b)³=a³+3a²b +3ab²+b³ =a³+b³+3ab(a+b) ⇒ (a+b)³ - 3ab(a+b) = a³+b³  

При  a =x ; b = 1/x получается ( x+1/x)³ -3*( x+1/x ) = -18  замена  t= x+ 1 / x

t³-3t +18 =0⇔t³+27-3t -9 =0 ⇔(t³+3³)-3(t +3) =0⇔(t+3)(t²-3t +9)-3(t +3) =0⇔

(t+3)(t²-3t +6 =0⇔ [ t +3 =0 ; t²-3t +6 =0 . ⇒ t = -3 .  ( уравнение  t²-3t +6 =0 не              имеет действительных  корней ,  дискриминант  D  =3² - 4*1*6 = -15 < 0 )

x+ 1 / x  =  -3

ответ:   x+ 1 / x = - 3 .