Довести (a+b) (b+c) (a+c) больше и равно 8abc, якщо a, b, c больше и равно 0

Используем связь между средним арифметическим и средним геометрическим

(а +в)≥ 2√ав

(а + с)≥ 2√ас

(в +с)≥2√вс

так как а ≥0 ,в≥0, с ≥0 обе части неравенств неотрицательны. перемножим почленно эти неравенства и получим

(а +в)(а+с)(в+с)≥ 2√ав·2√ас·2√св

(а+в)(а+с)(в+с)≥8√а·в·а·с·с·в

(а+в)(а+с)(в+с)≥8авс

ч.т.д.