даны точки A(1;-4;0), B(5;0;-2) C(3;7;-10) ,найти объем параллепипеда , построеного на векторах BA , BD , BC

1) вектор AD (-6 - (-3); -3 - 5; 0 - (-6) ) = (-3; -8; 6)

координаты вектора находятся как разность координат конца и начала вектора

2) Расстояние между  точками B и D это длина вектора  BD

Вектор BD( -6 - 5; -3 - (-2); 0 - 4) = (-11; -1; -4)

Длина вектора это квадратный корень из суммы квадратов координат вектора т.е.  = 

3) Координаты середины отрезка это полусумма координат концов отрезка. Т.е.

точка М ( (-3+5)/2; (5 + (-2))/2 ; (-6+4)/2 ) = (1; 1,5; -1)

4) Произведение векторов AB и CD это сумма произведений их координат.

Сначала найдем вектора.

AB (5-(-3); -2-5; 4-(-6)) = (8;-7; 10)

CD (-6-0; -3-4; 0-3) = (-6; -7; -3)

Теперь перемножим координаты векторов и сложим их

AB * CD = 8*(-6) + (-7)*(-7) + 10*(-3) = -48+49-30 = -29

5) Угол между векторами можно найти из формулы векторного произведения векторов, которое равно произведению модулей векторов на косинус угла между ними.

Как уже было найдено в п4

AB (8;-7; 10) , CD (-6; -7; -3) и AB * CD = -29

Модуль |AB| равен  

Модуль |CD| равен 

Тогда  AB * CD / |AB| * |CD| =  что приблизительно равно -0,204948276

6) Аналогично пункту 5

Угол между векторами можно найти из формулы векторного произведения векторов, которое равно произведению модулей векторов на косинус угла между ними.

Как уже было найдено ранее 

вектор AD (-3; -8; 6)

Найдем вектор ВС

Вектор ВС (0-5; 4-(-2); 3-4) = (-5; 6; -1)

Теперь найдем AD * ВС = (-3)*(-5) + (-8)*6 + 6*(-1) = -39

Модуль |AD| равен  

Модуль |ВС| равен 

Тогда  AD * ВС / |AD| * |ВС| =  что приблизительно равно  -0,352767774

7) Вектор BD уже был найден BD(-11; -1; -4)

Вектор CB= - ВС =  (5; -6; 1)

Найдем вектор AC (0-(-3); 4-5; 3-(-6) ) = (3; -1; 9)

Найдем сумму векторов AC и BD 

AC(3; -1; 9) + BD(-11; -1; -4) = (3 + (-11); -1 + (-1); 9 + (-4) ) = (-8; -2; 5)

Теперь найдем произведение этого вектора на CB(5; -6; 1)

Произведение векторов равно (-8; -2; 5) * (5; -6; 1) = (-8)*5 + (-2)*(-6) + 5*1 = -23

8) Условие коллинеарности это пропроциональность координат векторов (если они не равны нулю)

В нашем случае  AB(8;-7; 10) и CD(-6; -7; -3) не имеют нулевых координат, значит можно проверить на пропорциональность.

Очевидно 

Следовательно вектора не коллинеарны.

Подробнее - на Znanija.com - https://znanija.com/task/15475849#readmore