Решит уравнение [tex](x-6)^6+(x-4)^6=64[/tex]

Первая замена x - 5 = y, тогда x - 6 = y - 1; x - 4 = y + 1

(y - 1)^6 + (y + 1)^6 = 64

Раскладываем как сумму кубов (y - 1)^2 и (y + 1)^2

[(y - 1)^2 + (y + 1)^2]*[(y - 1)^4 - (y + 1)^2*(y - 1)^2 + (y + 1)^4] = 64

(y^2-2y+1+y^2+2y+1)(y^4-4y^3+6y^2-4y+1+y^4+4y^3+6y^2+4y+1-(y^2-1)^2)=64

(2y^2 + 2)(2y^4 + 12y^2 + 2 - y^4 + 2y^2 - 1) = 64

2(y^2 + 1)(y^4 + 14y^2 + 1) = 64

Вторая замена y^2 = t >= 0 при любом y и при любом x

(t + 1)(t^2 + 14t + 1) = 32

t^3 + t^2 + 14t^2 + 14t + t + 1 = 32

t^3 + 15t^2 + 15t - 31 = 0

Сумма коэффициентов 1 + 15 + 15 - 31 = 0, значит, t1 = 1

t^3 - t^2 + 16t^2 - 16t + 31t - 31 = 0

t^2*(t - 1) + 16t(t - 1) + 31(t - 1) = 0

(t - 1)(t^2 + 16t + 31) = 0

t1 = y^2 = 1; y1 = x - 5 = -1; x1 = 4; y2 = x - 5 = 1; x2 = 6

t^2 + 16t + 31 = 0

D/4 = 8^2 - 31 = 64 - 31 = 33

t2 = -8 - √33 < 0 - не подходит; t3 = -8 + √33 < 0 - не подходит.

Таким образом, это уравнение имеет только два корня:

x1 = 4; x2 = 6