Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Даны положительные числа a>b. Можно ли утверждать, что [tex]\sqrt{a+\sqrt[4]{b}}\ \textgreater \ \sqrt{b+\sqrt[4]{a}[/tex]

Ответы 1

  • Возводим в квадрат обе части неравенства, получим

    \sf a+\sqrt[\sf 4]{\sf b}>b+\sqrt[\sf 4]{\sf a}~~~\Rightarrow~~~ a-b>\sqrt[\sf 4]{\sf a}-\sqrt[\sf 4]{\sf b}

    Для \sf a-b=\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}ight)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}ight)=\left(\sqrt[\sf 4]{\sf a}-\sqrt[\sf 4]{\sf b}ight)\left(\sqrt[\sf 4]{\sf a}+\sqrt[\sf 4]{\sf b}ight)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}ight). Тогда

    \left(\sqrt[\sf 4]{\sf a}-\sqrt[\sf 4]{\sf b}ight)\left(\sqrt[\sf 4]{\sf a}+\sqrt[\sf 4]{\sf b}ight)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}ight)>\sqrt[\sf 4]{\sf a}-\sqrt[\sf 4]{\sf b}

    Так как a>b, то, умножив левую и правую части последнего неравенства на \sf \dfrac{1}{\sqrt[\sf 4]{\sf a}-\sqrt[\sf 4]{\sf b}}, получим

    \sf \left(\sqrt[\sf 4]{\sf a}+\sqrt[\sf 4]{\sf b}ight)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}ight)>1 - верно для достаточно больших a и b. Для малых a,b неравенство не выполняется, следовательно, утверждать нельзя.

    Ответ: нет.

    • Автор:

      sassyceme
    • 5 лет назад
    • 0

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years