написать уравнение плоскости проходящей через точки P(1,1,-2) и Q(3,-2,-1) и перпендикулярной плоскости 4x-2y-z-3=0

Написать уравнение плоскости проходящей через точки P(1,1,-2) и Q(3,-2,-1) и перпендикулярной плоскости 4x-2y-z-3=0.

Если дано уравнение плоскости, то известна нормаль N к этой плоскости: N = (4; -2; -1).

Для искомой плоскости нормаль N будет параллельным вектором n.

Точки P(1,1,-2) и Q(3,-2,-1) .

Вектор PQ = ((3-1=2; -2-1=-3; -1-(-2)=1) = (2; -3; 1).

Составим уравнение плоскости П как плоскости, проходящей через точку  Р(1,1,-2) параллельно векторам  →PQ (2; −3; 1) и →n = (4; -2; -1).

x - 1           y - 1             z + 2              x - 1           y - 1

  2              -3                 1                   2               -3

  4               -2               -1                   4               -2    

∆ =  a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

 =   a11•a22•a33 + a12•a23•a31 + a13•a21•a32 - a13•a22•a31 - a11•a23•a32 - a12•a21•a33

∆ = (x - 1)*(-3)*(-1) + (y - 1)*1*4 + (z + 2)*2*(-2) - (z + 2)*(-3)*4 - (x - 1)*1*(-2) - (y - 1)*2*(-1) = 4x - 4 + 4y - 4 - 4z - 8 + 12z + 24 + 2x - 2 + 2y - 2 = 6x + 6y + 8z + 4 = 0.

Или, сократив на 2, получаем искомое уравнение плоскости:

3x + 3y + 4z + 2 = 0.