Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Найти производную функции тангенса y=tgx по определению

Ответы 4

  • спасибо большое
  • спасибо большое

    • Автор:

      niko
    • 6 лет назад
    • 0

  • По определению, производная есть предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, при условии стремления этого приращения аргумента к нулю.

    f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}} \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

    Для функции тангенса имеем:

    f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}} \dfrac{\mathrm{tg}(x+\Delta x)-\mathrm{tg}x}{\Delta x}

    Преобразуем разность тангенсов по формуле \mathrm{tg}\alpha -\mathrm{tg}\beta =\dfrac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}:

    f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}} \dfrac{\sin(x+\Delta x-x)}{\Delta x\cos(x+\Delta x)\cos x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}} \dfrac{\sin\Delta x}{\Delta x\cos(x+\Delta x)\cos x}

    Рассмотрим предел произведения как произведение пределов:

    f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}}\dfrac{\sin\Delta x}{\Delta x}\cdot \lim\limits_{\Delta x\to 0}}\dfrac{1}{\cos(x+\Delta x)\cos x}

    Значение первого предела-сомножителя равно 1 (первый замечательный предел). Вычисляя второй предел-сомножитель, получим итоговый результат:

    f'(x)=1\cdot \dfrac{1}{\cos(x+0)\cos x}= \dfrac{1}{\cos x\cos x}= \dfrac{1}{\cos^2 x}

    Таким образом:

    \boxed{\left(\mathrm{tg}xight)'= \dfrac{1}{\cos^2 x}}

    • Автор:

      zeusmxor
    • 6 лет назад
    • 0

  • y=tgx\\\\y'=\lim\limits _{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits _{\Gelta x \to 0}\frac{tg(x+\Delta x)-tgx}{\Delta x}=\lim\limits _{\Delta x \to 0}\frac{sin(x+\Delta x-x)}{cos(x+\Delta x)\cdot cosx\cdot \Delta x}=\\\\=\lim\limits _{\Delta x \to 0}\frac{sin\Delta x}{\frac{1}{2}\cdot (\, cos(x+\Delta x+x)+cos(x+\Delta x-x)\, )\cdot \Delta x}=\lim\limits _{\Delta x \to 0}\frac{2\Delta x}{\Delta x\cdot (\, cos(2x+\Delta x)+cos\Delta x\, )}=\\\\=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{2}{cos(2x+\Delta x)+cos\Delta x}=\Big [\, \Delta x\to 0\, \Big ]=\frac{2}{cos2x+cos0}=\frac{2}{cos2x+1}=\\\\=\frac{2}{2cos^2x}=\frac{1}{cos^2x}\\\\(tgx)'=\frac{1}{cos^2x}

    • Автор:

      emmafdrv
    • 6 лет назад
    • 0

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years