интеграл dx/(x^2+2x-3)

интеграл dx/(x^2+2x-3)
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  ponciolove
- 6 лет назад

Ответы 2

интеграл это какой клас?
- Автор:
  ringowoodward
- 6 лет назад
- 0
$\int\limits {\dfrac{dx}{x^2+2x-3}}$
Преобразуем дробь, стоящую под знаком интеграла:
$\dfrac{1}{x^2+2x-3}=\dfrac{1}{x^2+2x+1-4}=\dfrac{1}{(x+1)^2-2^2}=\\\\=\dfrac{1}{(x+1-2)(x+1+2)}=\dfrac{1}{(x-1)(x+3)}$
Представим дробь в виде суммы простейших:
$\dfrac{1}{(x-1)(x+3)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+3}$
Определим коэффициенты А и В. Для этого сложим дроби в правой части:
$\dfrac{A}{x-1} +\dfrac{B}{x+3}=\dfrac{A(x+3)+B(x-1)}{(x-1)(x+3)} =\dfrac{(A+B)x+3A-B}{(x-1)(x+3)}$
Дроби $\dfrac{1}{(x-1)(x+3)}$ и $\dfrac{(A+B)x+3A-B}{(x-1)(x+3)}$ должны быть равны, следовательно:
$(A+B)x+3A-B=1$
Получаем систему:
$\left\{\begin{array}{l} A+B=0 \\ 3A-B=1 \end{array}$
Складываем уравнения:
$4A=1\Rightarrow A=\dfrac{1}{4}$
$B=-A \Rightarrow B=-\dfrac{1}{4}$
Тогда представление в виде суммы имеет вид:
$\dfrac{1}{x^2+2x-3}=\dfrac{1}{(x-1)(x+3)}=\dfrac{1}{4(x-1)}-\dfrac{1}{4(x+3)}$
Возвращаемся к интегралу:
$\int\limits {\dfrac{dx}{x^2+2x-3}}=\int\limits\left(\dfrac{1}{4(x-1)}-\dfrac{1}{4(x+3)}ight)dx=\\\\=\dfrac{1}{4}\int\limits\dfrac{dx}{x-1}-\dfrac{1}{4}\int\limits\dfrac{dx}{x+3}=\boxed{\dfrac{1}{4}\ln|x-1|-\dfrac{1}{4}\ln|x+3|+C}$
- Автор:
  dashawn
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ