Помогите пожалуйста решить задачу. Многочлен четвертой степени с положительным старшим коэффициентом имеет четыре корня, образующих арифметическую прогрессию с разностью 1. Найдите квадрат расстояния между точками минимума этого многочлена.

Помогите пожалуйста решить задачу. Многочлен четвертой степени с положительным старшим коэффициентом имеет четыре корня, образующих арифметическую прогрессию с разностью 1. Найдите квадрат расстояния между точками минимума этого многочлена.
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  roysolis
- 6 лет назад

Ответы 1

Наш многочлен имеет вид
$P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$
Пусть меньший его корень равен $x_1$ . Так как корни образуют арифметичекую прогрессию, можем записать:
$x_2=x_1+1\\x_3=x_1+2\\x_4=x_1+3$
Многочлен раскладывается на линейный множители следующим образом:
$P(x)=a(x-x_1)(x-x_1-1)(x-x_1-2)(x-x_1-3)$
Напрашивается замена $t=x-x_1$ . Тогда
$P(t)=at(t-1)(t-2)(t-3)=a(t^4-6t^3+11t^2-6t)$
Нам нужно найти минимумы этой функции, поэтому дифференцируем:
$P'(t)=a(4t^3-18t^2+22t-6)$
Теперь требуется найти корни этого многочлена. Используя теорему о рациональных корнях многочлена можно найти корень $t=\frac{3}{2}$
Согласно теореме Безу, $P'(t)$ должен делиться на $4(t-\frac{3}{2} )=(4t-6)$ . Разложим на множители, чтобы найти остальные корни:
$P'(t)=a(4t^3-6t^2-12t^2+18t+4t-6)=a[t^2(4t-6)-3t(4t-6)+(4t-6)]=a(4t-6)(t^2-3t+1)$
Решив квадратное уравнение $t^2-3t+1=0$ , найдем корни
$t_{1, 2}=\frac{3\pm\sqrt{5} }{2}$
Расположив корни
$\frac{3}{2},\;\frac{3\pm\sqrt{5} }{2}$
на числовой прямой и использовав метод интервалов, узнаем, что производная меняет знак с минуса на плюс в точках $t=\frac{3\pm\sqrt{5} }{2}$ , это и есть точки минимума. Переходя обратно к многочлену от x, получаем точки
$x_{min1}=\frac{3+\sqrt{5} }{2}+x_1\\x_{min2}=\frac{3-\sqrt{5} }{2}+x_1$
Квадрат расстояния между ними:
$|x_{min2}-x_{min1}|^2=(\sqrt{5} )^2=5$
- Автор:
  slimjuev
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ