Сколько возможных вариантов размещения плит размером N метров в длину и 1 метр в ширину в прямоугольник размерами 2N метров в длину и N метров в ширину.
Допустим, если N = 2 , тогда 5 вариантов размещения ( картинка снизу )

А разве если N - Будет нечётное, вариант решения будет такой же?

От чётности/нечётности число вариантов не зависит. Мы всё так же разделяем на два квадрата и действуем так, как действовали ранее.

Прямоугольник можно поделить на 2 квадрата со стороной N. Каждый такой квадрат можно замостить двумя способами: поместить N плит вертикально или горизонтально. Тогда возьмём 2 способа разложения плит в прямоугольнике: все расположены вертикально или все расположены горизонтально (на твоём рисунке это 1 и 5). Причём всякая плита не может выезжать за пределы своего квадрата, иначе не получится разложить остальные плиты. Теперь рассмотрим способы, когда N плит расположены горизонтально и N плит расположены вертикально (на твоём рисунке это 2, 3, 4). Мы можем передвигать квадрат из горизонтальных плит между вертикальными плитами. Таких способов N + 1 (когда N плит справа от квадрата, N - 1, N - 2 и т. д. до 0).

Из вышенаписанного следует, что всего способов 2 + N + 1 = N + 3.

Ответ: N + 3