Уравнение [tex]\sqrt[3]{F(x)}+\sqrt[3]{G(x)}+\sqrt[3]{H(x)}=0[/tex] часто решают таким способом: переносим третье слагаемое направо, возводим левую и правую части в куб, получая при этом уравнение

[tex]F(x)+G(x)+3\sqrt[3]{F(x)\cdot G(x)}\left(\sqrt[3]{F(x)}+\sqrt[3]{G(x)}ight)=-H(x).[/tex]

С помощью исходного уравнения заменяем скобку в левой части уравнения на [tex]-\sqrt[3]{H(x)},[/tex] получая при этом (вообще говоря, неравносильное исходному) уравнение

[tex]F(x)+G(x)+H(x)=3\sqrt[3]{F(x)\cdot G(x)\cdot H(x)}.[/tex]
Пусть [tex]x_0[/tex] - корень получившегося уравнения. Докажите, что он НЕ является корнем исходного уравнения тогда и только тогда, когда

[tex]F(x_0)=G(x_0)=H(x_0)ot= 0.[/tex]

Насколько я понял, Вы доказываете необходимость от противного. Но почему Вы решили, что противное - это F(x_0)=G(x_0)=H(x_0)=0?

Честно говоря, я не понял Ваше доказательство

Я принял значение F(x0) (а соответственно и G(x0), и H(x0)) за N, при этом N не должно быть равным нулю по условию. Подставляем это N в исходное уравнение и получаем с одной стороны произведение двух отличных от нуля чисел, а с другой стороны ноль. Логично, что такого быть не может.

Вы не обратили внимания, что требуется доказать, что это необходимые и достаточные условия

Сначала предполагаем что все функции равны нулю, потом что хотя бы одна функция отлична от другой

Так что - Вы утверждаете, что у Вас правильное решение?

Необходимость: Дано уравнение . Дан - корень уравнения и .

Доказать что .

Предположим что .

Тогда, . Противоречие.

Предположим, что равенство не выполняется. Тогда и .

Следовательно, не будет выполнятся . Но корень данного уравнения. Противоречие.

Достаточность: .

Тогда

Предположим обратное: x₀ является корнем уравнения. Тогда F(x₀) = G(x₀) = H(x₀) = N, N ≠ 0. Тогда получаем, что в исходном уравнении . Раз N ≠ 0, то и . Получается, что ни один из множителей не равен нулю, но произведение в итоге стало нулём. Получили противоречие, значит, такого быть не может - x₀ не является корнем уравнения.