Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • упростить факториал 1/2!+2/3!+3/4!+...+2006/2007!

Ответы 1

  • Запишем эту сумму для произвольного числа слагаемых:

    S(k)=\frac{1}{2!} +\frac{2}{3!} +\frac{3}{4!} +...+\frac{k}{(k+1)!}

    Вычислим значения S(k) для нескольких значений k:

    S(1)=\frac{1}{2!} =\frac{1}{2}= \frac{2!-1}{2!} \\S(2)=\frac{1}{2} +\frac{2}{3!} =\frac{5}{6}=\frac{3!-1}{3!} \\S(3)=\frac{5}{6}+\frac{3}{4!}=\frac{23}{24} =\frac{4!-1}{4!}

    Тогда можно предположить, что

    S(k)=\frac{(k+1)!-1}{(k+1)!}=1-\frac{1}{(k+1)!}

    Но это ещё надо доказать. Используем индукцию. Выше было показано, что равенство верно для первых 3 натуральных k. Докажем, что из справедливости равенства для k=n следует справедливость равенства для k=n+1, тогда равенство можно будет считать справедливым для всех натуральных k.

    Итак, предположим, что справедливо равенство

    \frac{1}{2!} +\frac{2}{3!} +\frac{3}{4!} +...+\frac{n}{(n+1)!}=1-\frac{1}{(n+1)!}

    Проверим, верно ли, что

    \frac{1}{2!} +\frac{2}{3!} +\frac{3}{4!} +...+\frac{n}{(n+1)!}+\frac{n+1}{(n+2)!}=1-\frac{1}{(n+2)!}

    Подставляем сюда предыдущее выражение:

    1-\frac{1}{(n+1)!}+\frac{n+1}{(n+2)!}=1-\frac{1}{(n+2)!}\\\frac{n+2}{(n+2)!}=\frac{1}{(n+1)!}\\\frac{1}{(n+1)!}=\frac{1}{(n+1)!}

    Получили верное равенство. Теперь можно вычислить значение нашей суммы:

    S(2006)=1-\frac{1}{2007!}

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years