Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Помогите решить интеграл [tex]\frac{2u^{3} - u} {- 2 -2u} du[/tex]

Ответы 2

  • 1/6(-2u^3+3u^2-3u+3log(u+1)-83log2-2/6

    • Автор:

      ben5
    • 5 лет назад
    • 0

  • В подынтегральной дроби старшая степень числителя больше старшей степени знаменателя. Для того чтобы разбить эту дробь, нужно поделить с остатком многочлен в числителе на многочлен в знаменателе. Можно делить столбиком, но в простых случаях легче сделать по другому. Расписывать все буду дьявольски подробно, на самом деле половина этих действий делается в уме:

    \frac{-2u^3-u}{-2-2u} =-\frac{1}{2}\left( \frac{2u^3-u}{u+1} ight)=-\frac{1}{2}\left( \frac{2u^2(u+1)-2u^2-u}{u+1} ight)=-\frac{1}{2}\left( \frac{2u^2(u+1)-2u(u+1)+u}{u+1} ight)=\\=-\frac{1}{2}\left( \frac{2u^2(u+1)-2u(u+1)+(u+1)-1}{u+1} ight)=(*)

    Теперь почленно делим числитель на знаменатель:

    (*)=-\frac{1}{2}\left(2u^2-2u+1- \frac{1}{u+1} ight)

    Это выражение уже легко проинтегрировать. Итак:

    \displaystyle\int\frac{2u^3-u}{-2-2u} du=-\frac{1}{2}\displaystyle\int\left(2u^2-2u+1- \frac{1}{u+1} ight)du=-\frac{1}{2} \left(\frac{2u^3}{3}-u^2+u+c_1-\displaystyle\int\frac{d(u+1)}{u+1} ight)=-\frac{1}{2}\left(\frac{2u^3}{3}-u^2+u-\ln|u+1|+C ight)

    Чтобы проверить правильный ли мы получили ответ, возьмём от него производную:

    \frac{d}{du} \left[-\frac{1}{2}\left(\frac{2u^3}{3}-u^2+u-\ln|u+1|+C ight)ight]=-\frac{1}{2}\left(2u^2-2u+1-\frac{1}{u+1} ight)=\\=-\frac{1}{2}\left(\frac{2u^3+2u^2-2u^2-2u+u+1-1}{u+1} ight)=\frac{2u^3-u}{-2-2u}

    Всё верно.

    • Автор:

      ace37
    • 5 лет назад
    • 0

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years