Задать вопрос Регистрация
Помочь другим


  • [tex] \sqrt{x} - \sqrt{y} = log_{3}( \frac{y}{x} ) [/tex]
    в скобках с
    [tex] {2}^{x + 2} + {8}^{x} = 5 \times {4}^{y} [/tex]

Ответы 1

  • \left \{ {{\sqrt{x}-\sqrt{y}=\log_3\left(\frac{y}{x}ight)} \atop {2^{x+2}+8^x=5\cdot 4^y}} ight. Разберемся сначала с первым уравнением, начав с ОДЗ. x\ge 0;\ y\ge 0;\ xot=0;\ \frac{y}{x}>0. Окончательно ОДЗ выглядит так: \left \{ {{x>0} \atop {y>0}} ight.. На ОДЗ первое уравнение можно переписать так:

    \sqrt{x}-\sqrt{y}=\log_3 y-\log_3 x;\ \sqrt{x}+\log_3 x=\sqrt{y}+\log_3 y.

    Рассмотрим функцию F(t)=\sqrt{t}+\log_3 t, являющуюся возрастающей как сумма двух возрастающих функций. Наше уравнение может быть записано в виде F(x)=F(y), а поскольку возрастающая функция каждое свое значение принимает ровно один раз, отсюда следует, что  x=y. Подставив  x во второе уравнение вместо y, получаем уравнение 4\cdot 2^x+2^{3x}=5\cdot 2^{2x}, а заменив 2^x на p>0, получаем уравнение p^3-5p^2+4p=0, а раз pot=0, сводим к уравнению p^2-5p+4=0;\ \left [ {{p=1} \atop {p=4}} ight.. p=1 приводит к x=0, что не подходит по ОДЗ, p=4 приводит к x=2, откуда и y=2. Делаем на всякий случай проверку. Первое уравнение дает 0=0, второе дает 80=80 - верно.

    Ответ: \left \{ {{x=2} \atop {y=2}} ight.

    • Автор:

      amari27
    • 5 лет назад
    • 0

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years