Докажите , что число вида 8n+7 не может быть суммой квадратов трех целых чисел

Найдем какие остатки может давать квадрат натурального числа при делении на 8 , пусть n = t² и t = 2k (чётно ) , тогда  n = 4k²  , если  4k² = 8m +r ,  то r = 4k² - 8m ⇒ r-кратно 4 ⇒ r = 0 или r = 4  , если  n = 2k +1 ( нечётно) ,то   n = 4k² +4k +1 = 4k(k+1) +1 , одно из чисел к или к+1 четно ⇒  4k(k+1) кратно 8  ⇒    n = 8p +1 ⇒ остаток при делении n  на 8 равен 1  ⇒ квадрат натурального числа при делении на 8 может дать в остатке  0 , 1  или 4  ⇒ если  а  , b , c - квадраты целых чисел ,то каждое из них имеет вид : 8m , 8n+1 или 8l +4     осталось доказать , что если сложить  3 числа этого типа ( необязательно с разными остатками ) , то никогда не получим число  вида  8n +7  , предположим , что это возможно , так как число 8n +7 нечетно ,то в эту сумму должно войти число вида 8n +1  один или 3 раза подряд , но если  сложить 3 числа этого типа , то получим число вида :    z = 8q+3  ( остаток не равен 7 ) , а если число  вида 8n +1 входит в сумму один раз , то сумма остальных (четных) чисел должна быть равной 8s +6 ,   но это число не кратно 4 , а сумма чисел вида 8m и 8l+4  кратна 4 ⇒ и это невозможно , что и доказывает утверждение