Дано: tg a + ctg a = 9. Найдите sin a и cos a.

Дано: tg a + ctg a = 9.

Примем tg a  = t,   ctg a = 1/t.

Подставим в заданное уравнение:  t + 1/ t = 9.

Приведя к общему знаменателю, получаем квадратное уравнение:

t² - 9t + 1 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно t:  

Ищем дискриминант:

D=(-9)^2-4*1*1=81-4=77;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

t_1 = (√77-(-9))/(2*1) = (√77+9)/2 = √77/2+9/2=√77/2+4.5 ≈ 8.887482

t_2 =  (-√77-(-9))/(2*1) = (-√77+9)/2 = -√77/2+9/2 = -√77/2+4.5 ≈ 0.112518.

Так как 1/8,887482 = 0,112518, а 1/8,887482 = 0,112518, то мы получили 2 пары значений тангенса и котангенса угла.

Далее используем формулы перехода от одной функции к другой.

sin α = tg α/+-√(1 + tg²α) = (√77/2+4.5)/(√(1 + (√77/2+4.5)²) = √((9-√77)/18) ≈ 0,111812 .

Аналогично для второго значения тангенса находим:

sin α = √((9+√77)/18) ≈ 0,993729.

Косинусы равны обратным значениям синусов.

cos α = √((9+√77)/18) ≈ 0,993729.

cos α = √((9-√77)/18) ≈ 0,111812 .