100 баллов!
Изменить порядок интегрирования в двойных интегралах
1. интеграл от 0 до 1 по dx интеграл от 0 до корень(2х-х^2) f(x,y) по dx
2. интеграл от 0 до 1 по dy интеграл от минус корень(1-у^2) до 1-у f(x,y) по dx

1. Интегрирование ведется по множеству 0 < x < 1, 0 < y < √(2x-x^2)

√(2x - x^2) принимает значения от 0 (x = 0) до 1 (x = 1), так что множество интегрирования является частью множеста 0 < x < 1, 0 < y < 1, где выполняется y < √(2x - x^2)

0 < y < √(2x - x^2) при 0 < x < 1 эквивалентно 0 < y^2 < 2x - x^2 = 1 - (1 - 2x + x^2) = 1 - (x-1)^2

т.е. (x-1)^2 < 1 - y^2

|x - 1| = 1 - x < √(1 - y^2)

x > 1 - √(1 - y^2)

Ответ: интеграл от 0 до 1 по dy интеграл от 1 - √(1-y^2) до 1 f(x,y) по dx

2. 0 < y < 1, -√(1-y^2) < x < 1-y

-√(1-y^2) принимает значения от -1 (y = 0) до 0 (y = 1)

1 - y принимает значения от 0 (y = 1) до 1 (y = 0)

Т.е. область интегрирования: -1 < x < 1, 0 < y < 1, где одновременно -√(1-y^2) < x и x < 1-y

x < 1 - y ~ y < 1 - x

-√(1-y^2) < x :

1) При x > 0 - любой y (от 0 до 1)

2) При x < 0:

√(1-y^2) > (-x) > 0

1 - y^2 > x^2

0 < y^2 < 1 - x^2

0 < y < √(1 - x^2)

Т.е. исходные условия эквивалентны тому, что:

при x >= 0: y < 1 - x

при x < 0: одновременно y < √(1 - x^2) и y < 1 - x, но т.к. √(1 - x^2) <= 1 - x при x < 0, достаточно условия y < √(1 - x^2)

Ответ: (интеграл от -1 до 0 по dx интеграл от 0 до √(1 - x^2) f(x,y) по dy) + (интеграл от 0 до 1 по dx интеграл от 0 до 1 - x f(x,y) по dy)

Или, что то же самое, интеграл от -1 до 1 по dx от 0 до min{ 1 - x, √(1 - x^2) } f(x,y) по dy