Найдите все общие точки графика функции [tex]y=\frac{1}{3} x^{3} -4x[/tex] и касательной, проведённой к этому графику через точку M(0;18)
1\3x^3-4x

Таких точек 2 - одна точка касания, вторая  - точка пересечения.

Находим точку касания.

y(k) = y'(хо)*(x - xo) + y(xo).

Производная равна y' = x² - 4.

Подставим координаты точки М, через которую проходит касательная.

18 = (xо² - 4)*(0 - хо) + (1/3)хо³ - 4хо,

-xо³ + (1/3)хо³ = 18,

(-2/3)хо³ = 18,

хо³ = -54/2 = -27.

хо = ∛(-27) = -3.

уо = (1/3)*(-27) - 4*(-3) = -9 + 12 = 3.

Точка касания А(-3; 3).

Уравнение касательной:

y(k) = (9 - 4)*(x -(-3) + (-9 + 12) = 5x + 15 + 3 = 5x + 18.

Находим точку пересечения.

5x + 18 = (1/3)x³ - 4x,

(1/3)x³ - 9x - 18 = 0.

Разложив на множители (х - 6)(х + 3)² = 0 получаем 2 корня:

х = 6 и х = -3 (это точка касания).

Точка В: у = 5*6 + 18 = 48.

Ответ: точки А(-3; 3) и В(6; 48).