Помогите решить дифференциальное уравнение второго

Помогите решить дифференциальное уравнение второго порядка
[tex](1+x^2)y''+(y')^2+1=0[/tex]
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  santiago77
- 6 лет назад

Ответы 9

То что в знаменателе умножили tg(C1) мы можем его представить 1 / ctg(C1) и закинуть сразу в числитель
- Автор:
  snoopy91
- 6 лет назад
- 0
Понял. Спасибо огромное. Вы мне очень помогли)
- Автор:
  cade252
- 6 лет назад
- 0
На здоровье!)
- Автор:
  salomónwfnt
- 6 лет назад
- 0
У вас описка в 2-х последних строчках. Надо x*сtgC1, а не x*ctgx .
- Автор:
  albinal65w
- 6 лет назад
- 0
Благодарю за помощь. У Вас в решении тоже опечатка по-моему. Когда считаем интеграл - вторая строчка перед P.S. - мы выносим (C^2+1)/C в качестве множителя за интеграл, при этом у нас уже перед интегралом находится множитель 1/С. Они перемножаются и будет вроде как (С^2+1)/(C^2), т.е в знаменателе должно быть C^2 в первом варианте записи ответа.
- Автор:
  cullenhebert
- 6 лет назад
- 0
спасибо, благодарю за находчивость! Исправлю как только смогу
- Автор:
  demarion
- 6 лет назад
- 0
Да, не умножила.
- Автор:
  munchkinpkyp
- 6 лет назад
- 0
Понизим порядок заменой $y'=u(x)$ , тогда $y''=u'(x)$ , получим
$(1+x^2)u'+u^2+1=0$ - уравнение с разделяющимися переменными
$\displaystyle \dfrac{du}{dx}=\dfrac{-1-u^2}{x^2+1}~~\Rightarrow~~-\int\dfrac{du}{1+u^2}=\int\frac{dx}{1+x^2}~~\Rightarrow~~ -{m arctg}\, u={m arctg}\, x+C_1$
Выполнив обратную замену $u=-{m tg}({m arctg}\, x+C_1)$ , получим
$y'=-{m tg}({m arctg}\, x+C_1)\\ \\ y=\displaystyle \int -{m tg}({m arctg}\,x+C_1)dx$
$-{m tg}({m arctg}\,x+C_1)=-\dfrac{{m tg}({m arctg}\, x)+{m tg}\, C_1}{1-{m tg}({m arctg}\, x){m tg}\, C_1}=\dfrac{x+{m tg}\, C_1}{x{m tg}\, C_1-1}$
Тогда
$y=\displaystyle \int\dfrac{x+{m tg}\, C_1}{x{m tg}\, C_1-1}dx=\int \bigg(\frac{({m tg}^2C_1+1){m ctg}\, C_1}{x{m tg}\, C_1-1}+{m ctg}\, C_1\bigg)dx=\\ \\ \\ =\left({m tg}\, C_1+{m ctg}\, C_1ight)\int\frac{dx}{x{m tg}\, C_1-1}+{m ctg}\, C_1\int dx=\\ \\ \\ =({m tg}\, C_1+{m ctg}\, C_1)\cdot {m ctg}C_1\ln|x{m tg}\, C_1-1|+x{m ctg}\, C_1+C_2=\\ \\ \\ =\boxed{({m ctg}^2C_1+1)\ln|x{m tg}\, C_1-1|+x{m ctg}\, C_1+C_2}$
- Автор:
  armando959
- 6 лет назад
- 0
$(1+x^2)\cdot y''+(y')^2+1=0\; \; \; \to \; \; \; F(x,y',y'')=0\; \; \to \\\\u=y'(x)\; ,\; \; u'=y''\; ,\\\\(1+x^2)\cdot u'+u^2+1=0\; ,\; \; \frac{du}{dx}=-\frac{1+u^2}{1+x^2}\; ,\\\\\int \frac{du}{1+u^2}=-\int \frac{dx}{1+x^2}\\\\arctgu=-(arctgx+C_1)\; \; \Rightarrow \; \; u=-tg(arctgx+C_1)\\\\u=-\frac{tg(arctgx)+tgC_1}{1-tg(arctgx)\cdot tgC_1}\; ,\; \; \; (\; tgC_1=const\; ,\; \; tgC_1=C\; )\\\\u=-\frac{x+C}{1-C\cdot x}\; \; \to \; \; y'(x)=-\frac{x+C}{1-C\cdot x}$
$\frac{dy}{dx}=-\frac{x+C}{1-C\cdot x}\\\\\int dy=-\int \frac{x+C}{1-C\cdot x}\, dx\; \; ,\; \; \int dy=\int \frac{x+C}{C\cdot x-1}\, dx\\\\y=\frac{1}{C}\cdot \int \frac{x+C}{x-\frac{1}{C}}\, dx=\frac{1}{C}\cdot \int \Big (1+\frac{C+\frac{1}{C}}{x-\frac{1}{C}}\Big )\, dx=\frac{1}{C}\cdot \int \Big (1+\frac{C^2+1}{C}\cdot \frac{1}{x-\frac{1}{C}}\Big )dx=\\\\=\frac{1}{C}\int dx+\frac{C^2+1}{C}\cdot \int \frac{dx}{x-\frac{1}{C}}=\frac{1}{C}\cdot x+\frac{C^2+1}{C}\cdot ln|x-\frac{1}{C}|+C_2\; ;$
$y=\frac{x}{C}+\frac{C^2+1}{C}\cdot ln|\frac{Cx-1}{C}|+C_2$
$P.S.\; \; \int \frac{x+C}{Cx-1}\, dx=\int \frac{Cx-1+1+C^2}{Cx-1}\, dx=\int (1+\frac{C^2+1}{Cx-1})dx=\\\\=x+(C^2+1)\cdot \frac{1}{C}\, ln|Cx-1|+C_2\; ;\\\\\underline {y=x+\frac{C^2+1}{C}\cdot ln|Cx-1|+C_2\; ,\; \; C=tgC_1\; ,\; \frac{1}{C}=ctgC_1}$
- Автор:
  brennanrukn
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ