7+7^2+7^3+7^4+...+7^2019 докозать что делится оно без остатка на 400

Добрый день! Решение см. фото.

Для нахождения закономерности, выполним банальное деление первых членов данного ряда и найдём остатки. (== - это я сразу пишу остаток от деления )

1) 7/ 400 == 7

2) 49 / 400 == 49

3) 343 / 400 == 343

4) 2401 / 400 == 1

И вот замечаем уже, что то получается у нас остаток стал меньше чем был (1 < 343)

Далее для того, чтобы не считать 7^5 вспомним следующие свойство:

Если r1 и r2 - остатки от деления на натуральное число m натуральных чисел a и b соответственно, то a*b, a+b совпадают с остаткоми от деления на m чисел  r1*r2 ; r1+ r2

5) 2401 * 7 == 1 * 7 = 7

6) 2401 * 49 == 1 * 49 = 49

7) 2401 * 343 == 1 * 343  = 343

8) 2401 * 2401 == 1 * 1 = 1

Таким образом, думаю понятно, что если мы продолжим, то через каждое 4 число мы будем получать остатки 7 49 343 1

Тогда найдём сколько в ряду будет четвёрок (ну то есть разобьём ряд по 4 члена)

У нас в ряду 2019 чисел (2019 слагаемых, но я оперирую тем, что мы просто находим сумму ряда)

=> 2019 / 4 = 504 и 3 в остатки

Значит мы можем представить остатки этого огромного числа следующим образом

504 (7 + 49 + 343 +1) + r1 + r2 +r3  где r1,r2,r3 - остатки от деления чисел 7^2017   7^2018   7^2019

Если число 504 (7 + 49 + 343 +1) + r1 + r2 +r3 делит на 400 без остатка => и наше первоначальное число делится на 400 без остатка.

504 ( 400) + r1 + r2 +r2 : 400

Так как 504 * 400 : 400, то нам достаточно доказать, что r1+r2+r3 : 400

Найдём r1, r2, r3

Так как 7^2016 : 400 = 1 (в последней четвёрке это последнее число => остаток 1)

Значит

7^2017 - это первое число в новой четвёрке

=> r1 = 7  r2 = 49  r3 = 343

r1 + r2 + r3 = 399

а 399 не делится на 400 => всё число не делится на 400

Ответ: Данное число не делится на 400 без остатка. Остаток от деления = 1