Найдите в арифметическом евклидовом пространстве R5 ортогональную проекцию вектора x = (15,4, -14, -9, -31) на подпространство L = (a1, a2, a3), где
a1 = (5, -5, -3, 3, -35), a2 = ( -3, -3, 1, -3, 23), a3 = (2, 3, -3, -5, 1)

Искомое разложение имеет вид:  

x=u+v, где u=p*a1+q*a2,  

p и q - искомые коэффициенты,  

вектор v ортогонален к a1 и a2.  

Умножаем скалярно:  

(x,a1)=p*(a1,a1)+q*(a1,a2)  

(x,a2)=p*(a1,a2)+q*(a2,a2)  

Решив эту систему, получим: p=2, q=-2.  

Теперь v=x-u.