Докажите ирроциональность числа log3 4

㏒₃4 > 0, т.к. основание равно 3 > 1, а подлогарифмическое выражение  равно 4, то есть его значение больше значения основания.

Допустим, что это число рационально. Значит оно представимо в виде b/n, где b/n > 0,  b, n - целые, b, n ≠ 0.  Не нарушая общности, допустим, что b, n - натуральные.

Тогда:

㏒₃4=b/n → n*㏒₃4=b → ㏒₃(4ⁿ)=b → 3ᵇ=4ⁿ

3ᵇ - нечетное для любой натуральной степени b [3ᵇ≡1ᵇ(mod 2)=1]

4ⁿ - четное для любой натуральной степени b [4ᵇ≡0ᵇ(mod 2)=0]

Получаем равенство четного и нечетного чисел. Противоречие. Значит число ㏒₃4 иррационально.

Ч.т.д.