f(x)=(4x​+3)(4x​−3)+2x2

1) а) F'(x)=3*x^2+8*x-5+0  

Так как (x^3)'=3*x^2, (x^2)'=2*x, (x)'=1, (C)'=0, то F'(x)=f(x)  

б) F'(x)=3*4*x^3-1/x=12*x^3-1/x  

Так как (x^4)'=4*x^3, (ln x)'=1/x, то F'(x)=f(x)  

2) a) F(x)=-x^(-2)+sin x, (x^(-2))'=-2*x^(-2-1)=-2*x^-3=-2/x^3, (sin x)'=cos x и f(x)=2/x^3+cos x  

След. F'(x)=f(x)  

б) F(x)=3*e^x  

Так как (3*e^x)'=3*(e^x)'=3*e^x и f(x)=3*e^x, то F'(x)=f(x)  

3) F(x)=x^3+2x^2+C,  

т. к. (x^3)'=3x^2  

(2x^2)'=2*2x=4x  

C'=0  

1. f(x)=3x^2+4x  

След. , F'(x)=f(x)  

2. Т. к. график первообразной проходит через A(1;5), то 5=1^3+2*1+C - верное равенство  

5=3+С  

С=2  

Ответ: F(x)=x^3+2x^2+2  

4) у=x^2  

у=9  

x^2=9  

х1=-3  

х2=3  

Границы интегрирования: -3 и 3  

Чертим на коорд. пл. графики функ. у=x^2 и у=9, опускаем проекции из точек пересеч. графиков на ось х  

Полученный прямоугольник обозначаем как ABCD, площадь которого равна 9*(3+3)=54  

S (OCD)= ∫ от 0 до 3 x^2 dx = 1/3*3^3-1/3*0=9  

Т. к. S (ABO) = S (OCD), то S(иск) =54-2*9=36  

В пятом условии для решения не хватает функции, график которой бы "замыкал" указанные параболы на коор. плоскости