Сколько решений в целых числах имеет уравнение x^2+ y^2+ x^2y^2=9?

Обратим внимание на то, что x или y не может быть больше 3.

То есть если мы возьмём x = ±4, а y = 0 (так как x находится в чётной степени, то корни полученные с одним знаком будут такими же если мы будем работать с другим знаком) то получим следующее

4²+0+0 = 9

16 = 9

Это значит, что значения x и y принадлежат отрезку [3, -3], где x и y - целые числа

Тогда нам не составит труда их все перебрать

1. Пусть x = ±3

(±3)² + y² + (±3)²y² = 9

9 + y² + 9y² = 9

10y² = 0 ⇒ y = 0 - два корня (один если x = 3 и ещё одни если x = -3)

2. Пусть x = ±2

(±2)² + y² + (±2)²y² = 9

5y² = 5

y = ±1 - четыре корня (два если x = 2, и ещё два если x = -2)

3. Пусть x = ±1

(±1)² + y² + (±1)²y² = 9

2y² = 8

y = ±2 - четыре корня

4. Пусть x = 0

y² = 9

y = ±3 - два корня

Мы нашли все возможные корни, просуммируем их:

2 + 4 + 4 + 2 = 12

Ответ: 12 корней