решите неравенство
[tex] \sqrt{x + 8 } > x + 2[/tex]

Подкоренное выражение неотрицательное

ОДЗ Х+8>=0  x>=-8

возведем в квадрат обе части неравенства

х+8>x^2+4+4x

x^2+3x-4<0

разложим используя теорему Виета

(x-1)(x+4)<0

квадратный трехчлен отрицателен в интервале между корней.

(-4;1)

при х∈[-8;-4) правая часть неравенства принимает отрицательное значение, в то время как корень положителен и неравенство будет истинным.

окончательно получаем ответ [-8;1)

√(x + 8) > x + 2

решение уравнений √f(x) > q(x)

разбивается на 2 этапа

1. q(x)<0

f(x)>=0

2. q(x)>=0

f(x) > q²(x)

квадратный корень всегда больше равен 0 и одз f(x)>=0 идет автоматически так как q² > 0

поэтому рассматриваем 2 варианта

√(x + 8) > x + 2

1. x+2 < 0     x<-2

x+8>=0        x>=-8   x∈[-8, -2)

2. x>=-2

x + 8 > (x + 2)²

x² + 4x + 4 - x - 8 < 0

x² + 3x - 4 < 0

D = 9 + 16 = 25

x12 = (-3 +- 5)/2 = - 4   1

(x+4)(x-1)<0

применяем метод интервалов

+++++++(-4) ------------ (1) +++++++++

x>=-2

-4< x < 1

x∈ [-2, 1)

объединяем два решения

Ответ x∈[-8  1)