решить неравенство Log₂(x-5) +Log3 (x)<4

Задача из ЕГЭ №15. Казалось, что строить обоснование на графическом решении недостаточно. А провести аналитическое решение не получается. Спасибо огромное!

Чуть добавлю про подбор: log2 (x-5) + log3 (x) = 4 можно разбить на два уравнения: log2 (x-5)=2 и log3 (x)=2. Отсюда и получим х=9.

Здравствуйте!

Путь F(x) = log2 (x-5), а G(x) = log3 (x)

Найдём D(f) : x-5>0 x>5  D(g): x>0

Так как F(x) монотонно возрастает на всей области допустимых значениях (D(f)) и G(x) монотонно возрастает на всей области допустимых значениях (D(g)), то и сумма F(x) + G(x) монотонно возрастает на области допустимых значениях этих функций, то есть на области полученное путём пересечения допустимых значениях D(f) и (D(g)) -  x>5 и x>0 => x>5

Таким образом функция T(x) = F(x) + G(x) монотонно возрастает на всей области допустимых значениях (x>5) и так как это логарифмическая функция (график можете найти в интернете), то она пересечёт прямую a = 4 лишь в 1 точке => уравнение log2 (x-5) + log3 (x) = 4   имеет 1 корень. Данный корень легко найти подбором x = 9. => решение неравенства (так как нам надо меньше этого корня) является интервал (5;9)

Ответ: (5;9)