Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 произвольно делят на три группы так, чтобы в каждой группе было хотя бы одно число. Затем вычисляют значение среднего арифметического чисел в каждой из групп (для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).

а) Могут ли быть одинаковыми два из этих трёх значений средних арифметических в группах из разного количества чисел?

б) Могут ли быть одинаковыми все три значения средних арифметических?

a) Да. Например: 1, 3 ___ 2 ___ 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16

                              s1 = 2    s2 = 2  s3 = 55/7

b) Нет. Допустим, что s1=s2=s3=s, причем в первой группе n1 элементов, а во второй n2. Тогда в третьей группе 10-n1-n2 элементов.

Сумма всех элементов равна 61 = n1*s+n2*s+(10-n1-n2)*s

61=s*(n1+n2+10-n1-n2)

61=s*10 ⇒ s=61/10

Т.к. дробь 61/10 несократимая, а сумма элементов каждой группы, очевидно, целая, то сумма элементов в каждой группе не меньше 61, а число элементов не меньше 10. ⇒ Общее число элементов не меньше 30. Так как у нас всего 10 элементов, получаем противоречие.