Могут ли одновременно выполняться равенства: cos a=1/2 и sin a=1/2

Нет. Не могут.

Пояснение:

Предположим, что cos a=1/2 и sin a=1/2

Тогда подставим эти значения в тождество

cos²α + sin²α = 1

(1/2)² + (1/2)² = 1

1/4 + 1/4 = 1

1/2 = 1

Получаем противоречие