Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Доказать, что число N = 11 ... 122 ... 2 (где k единиц и k двоек) является произведением двух последовательных натуральных чисел.

Ответы 1

  • N=11...122...2=(10^{2k-1}+...+10^{k})+2\cdot(10^{k-1}+10^{k-2}+...+10^1+10^0)

    1)

    10^{2k-1}+...+10^{k}

    a_1=10^{2k-1}

    a_2=10^{2k-2}

    ...

    a_k=10^{k}

    q=\frac{10^{2k-2}}{10^{2k-1}}=10^{-1}

    S_{k1}=\frac{qa_k-a_1}{q-1}=\frac{10^{-1}\cdot10^k-10^{2k-1}}{10^{-1}-1}=\frac{10^{-1}\cdot10^k-10^{2k}\cdot10^{-1}}{ \frac{1}{10} -1}=

    \frac{10^{-1}\cdot(10^k-10^{2k})}{ \frac{9}{10}}=\frac{ \frac{1}{10} \cdot(10^k-10^{2k})}{- \frac{9}{10}}=\frac{10^{2k}-10^{k}}{ 9}

    2)

    10^{k-1}+10^{k-2}+...+10^1+10^0

    b_1=10^{k-1}

    b_2=10^{k-2}

    ...

    b_{k}=1

    q= \frac{10^{k-2}}{10^{k-1}}=10^{-1}

    S_{k2}=\frac{qb_k-b_1}{q-1}=\frac{10^{-1}\cdot1-10^{k-1}}{10^{-1}-1}=

    \frac{10^{-1}\cdot1-10^{k}\cdot10^{-1}}{ \frac{1}{10} -1}=\frac{10^{-1}\cdot(1-10^{k})}{- \frac{9}{10}}=

    \frac{ \frac{1}{10} \cdot(1-10^{k})}{- \frac{9}{10}}=\frac{ 10^{k}-1}{9}

    ============================

    N=11...122...2=(10^{2k-1}+...+10^{k})+2\cdot(10^{k-1}+10^{k-2}+...+10^1+10^0)=

    \frac{10^{2k}-10^{k}}{ 9}+2\cdot\frac{ 10^{k}-1}{9}= \frac{10^{2k}+10^k-2}{9}=

    \frac{10^{2k}}{9}+\frac{10^k}{9}-\frac{2}{9}=

    \frac{10^{2k}}{9}-2\cdot\frac{10^k}{9}+\frac{1}{9}+3\cdot\frac{10^k}{9}- \frac{3}{9} =

    \left( \frac{10^k}{3}- \frac{1}{3} ight) ^2+3\left(\frac{10^k}{9}- \frac{1}{3} ight) =

    \left( \frac{10^k}{3}- \frac{1}{3} ight) ^2+\left(\frac{10^k}{3}- \frac{1}{3} ight) =

    \left(\frac{10^k}{3}- \frac{1}{3} ight)\cdot\left( \frac{10^k}{3}- \frac{1}{3}+1ight)=n(n+1)

    n=\frac{10^k}{3}- \frac{1}{3}

    • Автор:

      bubba2
    • 5 лет назад
    • 0

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years