Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки А(8; 7; -1) и
В(5; -1; 3) перпендикулярно плоскости 3х -4у – z + 5 = 0.

Если обозначить через x1, y1 и z1 координаты точки А, а через x2, y2 и z2 - координаты точки В, то искомое уравнение плоскости можно записать в виде определителя:

x-x1         y-y1      z-z1

x2-x1      y2-y1    z2-z1      = 0.

 A            B           C

Здесь А=3, В=-4, С=-1 - координаты нормального вектора плоскости 3x-4y-z+5=0.

Подставляя в определитель координаты точек, получаем определитель:

x-8     y-7     z+1

-3        -8       4      = 0

3        -4       -1

Раскрывая этот определитель по первой строке, получаем уравнение плоскости 24x+9y+36z-219=0. Подставляя в него координаты точек А и В, убеждаемся, что эти точки принадлежат плоскости. Кроме того, нормальный вектор данной плоскости, имеющий координаты (24;9;36), перпендикулярен нормальному вектору плоскости 3x-4y-z+5=0, так как их скалярное произведение равно нулю: 24*3+9*(-4)+36*(-1)=0.

Ответ: 24x+9y+36z-219=0