Выполните доказательство (номера 1 и 3) - см. прикрепленный файл.

3 пример решу в другом вашем аналогичном задании.

Может есть более элегантный способ показать что: cos(pi/5)=sin(pi/10)+1/2. Но у меня не получилось.

Сложим 1,3 ,а так же 2 и 4 выражение:

Упростим:1)+3)

(sin(4pi/15)-sin(pi/15))/sin(4*pi/15)*sin(pi/5)=

2*sin(pi/10)*cos(pi/6)/(1/2*(cos(pi/5)-cos(pi/3))=2*sqrt(3) * (sin(pi/10))/(cos(pi/5)-1/2) (использована формула разности и произведения синусов)

Абсолютно аналогично упрощаем 2)+4):

2*sqrt(3)*(cos(pi/5))/(сos(2*pi/5)+1/2)

и вот самое непростое. Необходимо доказать что:

sin(pi/10)/(cos(pi/5)-1/2) +cos(pi/5)/(cos(2*pi/5)+1/2) =2

Пусть sin(pi/10)=t

сos(pi/2-2*pi/5)=cos(3*pi/5)=sin(2*pi/5)

используя формулу двойного и

тройного угла получим:

1-2t^2=3t-4t^3

4t^3-3t-2*t^2+1=0

(t-1)*(4*t^2+2*t+1)=0

t=1 не подходит

4*t^2+2t-1=0

4t^2=-2t+1

2*(1-cos(pi/5))=-2t+1 (понижение степени)

2-2*cos(pi/5)=-2t+1

сos(pi/5)=t+ 1/2

cos(2pi/5)=sin(pi/2-2*pi/5)=sin(pi/10)=t

Тогда можно упростить данное выражение:

t/(t+1/2 -1/2)+ (t+1/2)/(t+1/2)=2

Что и требовалось доказать