Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • при каких значениях параметра а уравнение имеет один корень 16^x-(a+1)*4^x+a=0

Ответы 1

  • \displaystyle 16^x-(a+1)\cdot4^x+a=0\\\\4^{2x}-4^x(a+1)+a=0\\\\4^x=t,\quad t>0\\\\t^2-t(a+1)+a=0\\\\D=(a+1)^2-4a=a^2-2a+1=(a-1)^2

    Рассмотрим два случая

    1) Дискриминант равен 0

    2) Дискриминант больше 0

    Рассматривать случай при дискриминанте меньше 0 смысла нет, так как никаких действительных корней в этом случае не будет.

    \displaystyle 1)\quad \text{D}=0\quadightarrow\quad(a-1)^2=0\quad ightarrow \quad \boxed{a=1}\\\\t=\frac{a+1}{2}=\frac{1+1}2=1\quad (t>0)\\\\2)\quad \text{D}>0\quadightarrow\quad(a-1)^2>0\quad ightarrow\quad a\in(-\infty;1)\cup(1;+\infty)\\\\t=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\\\\t_1=\frac{a+1-(a-1)}{2}=\frac{2}2=1\\\\t_2=\frac{a+1+a-1}{2}=\frac{2a}2=a

    Первый корень всегда: t=1

    Второй корень может принимать как положительные, так и отрицательные значения: t=a,\quad a\in(-\infty;1)\cup(1;+\infty)

    При этом, вспомним про условие: t>0

    Показательная функция принимает строго положительные значения. Значит, если а будет меньше или равно 0, то второго корня у исходного уравнения не будет.

    \displaystyle \left \{ {{a\in(-\infty;1)\cup(1;+\infty)} \atop {a\leq0}} ight. \quadightarrow\quad \boxed{a\in(-\infty;0]}

    Ответ: a\in(-\infty;0]\cup\{1\}

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years