Без использования калькулятора сравнить числа [tex]\log_7 16[/tex] и [tex]\log_4 7[/tex]

Без использования калькулятора сравнить числа [tex]\log_7 16[/tex] и [tex]\log_4 7[/tex]
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  cameronenav
- 6 лет назад

Ответы 1

Логарифмические функции с основанием 7 и 4 возрастающие, значит бо`льшему значению функции соответствует бо`льшее значение аргумента:
$1=log_{7}7 < log_{7}16<log_{7}49=2\\ \\1=log_{4}4 < log_{4}7<log_{4}16=2$
Числа $log_{7}16$ и $log_{4}7$ находятся на промежутке [1;2]
Сравним каждое c серединой этого отрезка, с числом 1,5
$1,5=log_{7}7^{1,5}=log_{7}\sqrt{7^3}=log_{7}\sqrt{343} >log_{7}\sqrt{256}=log_{7} 16\\ \\1,5=log_{4}4^{1,5}=log_{4}\sqrt{4^3}=log_{4}\sqrt{64} >log_{4}\sqrt{49}=log_{4}7$
Значит оба числа находятся на промежутке [1;1,5]
Умножим равенства
$1<log_{7}16<\frac{3}{2}\\ \\1<log_{4}7<\frac{3}{2}$
на 2.
$2<2\cdot log_{7}16=log_{7}16^2<3\\ \\2<2\cdot log_{4}7=log_{4}7^2<3$
Числа $log_{7}16^2$ и $log_{4}7^2$ находятся на промежутке [2;3]
Сравним каждое c серединой этого отрезка, с числом 2,5
$log_{7}16^2>\frac{5}{2}=\frac{5}{2}log_{7}7^{\frac{5}{2}}=log_{7}\sqrt{7^5}\\ \\log_{7}256=log_{7}\sqrt{256^2}=log_{7}\sqrt{65536}>log_{7}\sqrt{7^5} =log_{7}\sqrt{16807}$
$log_{4}7^2>\frac{5}{2}=\frac{5}{2}log_{4}4^{\frac{5}{2}}=log_{4}\sqrt{4^5}\\ \\log_{4}49=log_{7}\sqrt{49^2}=log_{7}\sqrt{2401}>log_{4}\sqrt{4^5} =log_{4}\sqrt{1024}$
Числа $log_{7}16^2$ и $log_{4}7^2$ находятся на промежутке [2,5;3]
Умножим равенства
$2,5<log_{7}16^2<3\\ \\2,5<log_{4}7^2<3$
на 2.
$5<2\cdot log_{7}16^2=log_{7}16^4<6\\ \\5<2\cdot log_{4}7^2=log_{4}7^4<6$
Числа $log_{7}16^4$ и $log_{4}7^4$ находятся на промежутке [5;6]
Сравним каждое c серединой этого отрезка, с числом 5,5
$log_{4}49^2=log_{4}\sqrt{49^4}=log_{4}\sqrt{3364801}<log_{4}4^{\frac{11}{2}}= log_{4}\sqrt{4194304}=\frac{11}{2} < log_{7}7^{\frac{11}{2}}=log_{7}\sqrt{7^{11}}<log_{7}16^4$
Получили:
$log_{4}7^4<\frac{11}{2}<log_{7}16^4\\ \\4log_{4}7<\frac{11}{2}<4log_{7}16\\ \\ log_{4}7<\frac{11}{8}<log_{7}16\\ \\ log_{4}7<log_{7}16$
- Автор:
  barkerhiuk
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ