[tex]\sqrt{x^{2}+3x+2} +4x=x\sqrt{x+1} +4\sqrt{x+2}[/tex]

Вот так вот друзья, когда увидите похожее уравнение не спешите сводить его к кубическому. Этот способ гораздо красивее! И он сработает всегда в подобном уравнении! Сомневаюсь ,что вас учили подобному приему, ибо я сам только что его придумал. Это абсолютно новая и свежая идея.

Кстати из этого следует забавное следствие: хотя бы один из корней подобного уравнения после возведения в квадрат будет иметь хотя бы один рациональный корень!

Вернее сказать полученное кубическое уравнение

Представляю вам самый оригинальный путь решения этого уравнения,такого вы точно никогда не видели :)

Можно решать влом: возводим в квадрат, удвоенное  произведение  уходит. Решаем кубическое уравнение в котором некоторые корни будут лишними,поэтому придется делать проверку.(Через систему тоже ничего хорошего тут не выйдет,кубического уравнения все равно не избежать)  Я  предлагаю весьма хитроумный способ без  решения  кубического уравнения. Интригует?

Наше уравнение:

√(x+1)*(x+2) +4x=x*√(x+1) +4*√(x+2) (одз  x>=-1)

Если возвести его в квадрат . получим слева и справа одинаковое удвоенное произведение:   8x*√(x+1)*(x+2) ,то  есть оно сокращается.

А  остальные выражения представляют собой квадраты каждого из членов  и после преобразования они сведутся  к кубическому уравнению ,которое будет  иметь  как и посторонние корни ,так  и корни являющиеся решением данного уравнения.И

И  вот очень оригинальная мысль!

Рассмотрим следующее уравнение:

√(x+1)*(x+2) -4x=x*√(x+1) -4*√(x+2)

И  что же будет если его возвести в квадрат? Верно, абсолютно тоже самое кубическое уравнение,  что и в 1 случае!!!

Удвоенное произведение:   -8x*√(x+1)*(x+2)  точно так же сокращается в обоих случаях.  А  квадраты то те же  самые друзья!

Но  что  же  это  значит?

А вот  что!

Уравнения:

(√(x+1)*(x+2) +4x)^2 -(x*√(x+1) +4*√(x+2))^2=0

(√(x+1)*(x+2) -4x)^2-(x*√(x+1) -4*√(x+2))^2=0

Имеют абсолютно идентичные корни, которые абсолютно точно содержат в себе корни  исходного уравнения (их  может быть  не более 3-x тк  это кубическое уравнение)

Используя формулу  разности  квадратов каждое уравнение приводится к простому виду:                                                                     (√(x+1)*(x+2) +4x+ (x*√(x+1) +4*√(x+2) )*(√(x+1)*(x+2) +4x-((x*√(x+1) +4*√(x+2) )=0

(√(x+1)*(x+2) -4x+ (x*√(x+1) -4*√(x+2) )*(√(x+1)*(x+2) -4x-((x*√(x+1) -4*√(x+2) )=0

То  есть получаем  4 различных уравнения!

Тк   сумма  множеств корней  первого и второго  уравнения,  равна сумме  множеств  корней   третьего  и четвертого  уравнения.  То  некоторые из пар  уравнений:  1) ,3) ;  1),4) ;  2) ,3)  ; 2),4) будут содержать общие корни! И  все  общие корни во всех всевозможных парах  и будут тремя корнями полученного кубического уравнения!

И  вот главная идея! Если уравнения содержат общие корни, то уравнение являющееся их суммой  или  разностью или  линейной комбинацией неизбежно будут иметь  эти общие корни! Тк  a*0+-b*0=0

Рассмотрим все четыре  пары:

1)  √(x+1)*(x+2) +4x+ (x*√(x+1) +4*√(x+2) ) =0

    √(x+1)*(x+2) -4x+ (x*√(x+1) -4*√(x+2) )=0

Вычитаем  уравнения:

8x +8*√(x+2) =0

x=-√(x+2)       -2<x<0

x^2=x+2

x^2-x-2=0

x1=2(не  подходит) ; x2=-1

Если пара имеет общий корень, то он равен  x=-1

2)   √(x+1)*(x+2) +4x+ (x*√(x+1) +4*√(x+2)) =0

       √(x+1)*(x+2) -4x-( x*√(x+1) -4*√(x+2) )=0

    Складываем уравнения:

2* √(x+1)*(x+2) +8*√(x+2)=0

√(x+2) *(√(x+1) +4)=0

 x=-2  

 √(x+1)=-4 (решений  нет)

       Если общий корень существует ,то он равен x=-2

3) √(x+1)*(x+2) +4x-( x*√(x+1) +4*√(x+2) )=0

       √(x+1)*(x+2) -4x+ (x*√(x+1) -4*√(x+2) )=0

Cкладываем:

2* √(x+1)*(x+2)-8*√(x+2)=0

√(x+1)*(x+2)-4√(x+2)=0

√(x+2)*(√(x+1) -4)=0

x=-2

√(x+1)=4

x+1=16

x=15 (а вот и  наш новый  весьма интригующий кандидат !)

4) √(x+1)*(x+2) +4x-( x*√(x+1) +4*√(x+2) )=0

    √(x+1)*(x+2) -4x-( x*√(x+1) -4*√(x+2) )=0

  Вычитаем уравнения:

   8x-8*√(x+2) =0

   x=√(x+2)    (x>0)

  x^2-x-2=0

 x1=-1 (не подходит)

 x2=2

Итак у нас 4  кандидата  на роль корней  нашего  уравнения: x=-1 ;x=-2(не удовлетворяет ОДЗ) ; x=2 ; x=15 (в этом множестве корней содержатся все корни нашего уравнения) . Осталось подстановкой этих корней в уравнение узнать какие из них подойдут.

После проверки можно убедится ,  что

x1=2  , x2=15  

Ответ: x1=2 ; x2=15

2) способ.

И что вы думаете?

Конечно с решением перемудрил.

Это  уравнение просто раскладывается на множители:

√(x+1) *(√x+2  -x)   -4*(√(x+2)-x)=0

(√x+2  -x)*(√x+1 -4)=0

√x+2  -x=0

√x+2=x   x>=0

x+2=x^2

x^2-x-2=0

x1=-1 (не подходит)

x2=2

√x+1=4

x+1=16

x=15

Ответ: x1=2 ; x2=15.  Вот так вот! Разложение на множители бывает  даже там где его не ожидаешь увидеть! Даже я не заметил! Будьте крайне внимательны друзья!