Три числа, сумма которых 217, можно рассматривать как три последовательных члена геометрической прогрессии или как 2, 9 и 44-ый члены арифметической прогрессии. Сколько членов этой арифметической прогрессии надо взять, чтобы их сумма была равна 820?

Пусть даны числа x, y, z.

(1) Так как x, y, z можно рассматривать как три последовательных члена геометрической прогрессии, то справедливо равенство y=√(xz) - как среднее геометрическое двух соседних членов прогрессии.

(2) Так как x, y, z можно рассматривать как 2-ой, 9-ый и 44-ый члены арифметической прогрессии, имеем следующее:

x=a₂=a₁+d

y=a₉=a₁+8d

z=a₄₄=a₁+43d

По условию задачи, верно равенство 3a₁+52d=217.

(3) Комбинируя пункты (1) и (2), составим систему:

Решая ее, получим пары a₁=3, d=4 и a₁=217/3, d=0. Вторая пара не удовлетворяют условию задачи, так как в таком случае нет арифметической прогрессии.

(4) Сумма арифметической прогрессии вычисляется по готовой формуле. Получим уравнение:

Откуда n=-20.5 и n=20. По очевидным причинам, первый корень не удовлетворяет условию задачи.