Объясните решение задания по теории чисел. 98 баллов.

Обозначения:

- числа которые написаны на доске, при этом условимся что .

- сумма этих чисел, т.е. .

- остаток от деления a на r, равен остатку от деления b на r.

Решение:

Выберим какое-нибудь число на доске - (где ). Тогда, из условия следует что (т.е. делится на n-1).

Отюда в частности получаем, . Следовательно, (где, какие-то натуральные числа), и очевидно что . Т.е. делится на n-1.

Отсюда выводим, и конечно же, . Из-за того что (т.к. на доске больше 3 чисел), понятно что выполняется . Этот факт, дает нам заключить, что 1 является остатком при делении на (см. Теорема о делении с остатком).

Так как наши выводы не зависят от , это верно для любого . Проще говоря, каждое число на доске, при делении на n-1 дает остаток 1.  

Таким образом, мы нашли необходимое условие для того что-бы условие задачи выполнялось.

Теперь докажем, что это же условие - "каждое число на доске, при делении на n-1 дает остаток 1" - является достаточным условием.

Так как то

т.е. . Ч.Т.Д.

Теперь, мы с легкостью можем ответить на а) и б).

а) Предположим, что 5 написано на доске. Тогда, из необходимого условия, следует что , т.е. что 4 делится на n-1. Однако, 4 делится только на себя, 2 и 1. Так как,  , то т.е. .

Три числа нам уже известны, подберем 2 остальных с помощью достаточного условия - нам нужны числа которые при делении на 4 дают остаток 1. Такие числа, к примеру, могут быть 9 и 17.

Т.е. если на доске написаны к примеру 1, 5, 9, 17 и 1501. То условие задачи выполняется. Следовательно, 5 может быть на доске.

б) Предположим, что 12 написано на доске. Тогда, из необходимого условия следует что 11 делится на n-1. Т.к. 11 простое число и n-1 больше единицы, n-1 обязан быть 11. Т.е. . Однако, из того же условия выводим что 1500 делится на 11, что в корне не верно.

Следовательно, 12 не может быть на доске.

в) Очевидно что для любых двух чисел (на доске), выполняется - , а также . Следовательно, , что эквивалентно (из-за того что целые числа) .

Поэтому,  , т.е. разности каждых двух чисел должно быть больше или равно (n-1).

Для того что бы найти максимальное n, при котором первое число - 1 и последнее - 1501, нам нужно минимизировать разницу между всеми последовательными числами, т.е.  . Из неравенства которое мы вывели, следует что максимальная минимизация - .

Т.е., самая большая последовательность чисел на доске будет следующей: . Однако, в таком случае , т.е.  , однако 1500 не точный квадрат, поэтому разобьем его на произведение двух чисел, да так, что-бы (т.к. точное решение 1500=(n-1)(n-1) будет ). Единственное такое число, которое является максимальным и выполняет данное требование - n = 31. Т.к. 1500 = 50 * 30.