Объясните тему Линейная функция и её график и свойства​

Графиком линейной функции y = kx + b является прямая.

Рассмотрим первый пример -  линейную функцию y = 0,5x − 2 .  

Здесь k = 0,5  и b = - 2  

Для построения любой прямой необходимо знать две точки, найдем их:

y = 0,5x − 2 Тогда:

если x = 0, то y = −2; точка пересечения с осью ординат

если x = 2, то y = −1;

если x = 4, то y = 0  точка пересечения с осью абсцисс

Точки пересечения с осями координат находят:

Ox: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю

y = kx + b = 0, x = -b/k, следовательно (-b/k; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.

Oy: Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю.  

y = 0k + b = b, следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат.

Чтобы построить график данной функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции.

Построим на координатной плоскости xOy точки (0; −2) и (4;0) и проведём через них прямую.

Рассмотрим второй  пример - линейную функцию y = −2x + 1

если x = 0, то y = 1;  точка пересечения с осью ординат

если x = -3, то y = 2;

если x = 7, то y = -3 и т.д.

Построим на координатной плоскости xOy точки (−3;7) и (2;−3) и

проведём через них прямую.

Обратите особое внимание на функцию «y = 0,7x». Часто совершают ошибку при поиске в ней числового коэффициента «b». Рассматривая функцию «y = 0,7x», неверно утверждать, что числового коэффициента «b» в функции нет.

Числовый коэффициент «b» присутствет в функции типа «y = kx + b» всегда. В функции «y = 0,7x» числовый коэффициент «b» равен нулю.

Если b = 0, то получим функцию y = kx, которая является прямой пропорциональностью.

В частном случае, если k = 0, получим постоянную функцию y = b, график которой есть прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами (0; b).

В уравнении функции  y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

если k>0, то график наклонен вправо. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.

если k<0, то график наклонен влево

Коэффициент b отвечает за сдвиг графика вдоль оси OY:

если b>0, то график функции y = kx + b получается из графика функции y = kx сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY

если b<0, то график функции y = kx + b получается из графика функции y = kx сдвигом на b единиц вниз вдоль оси OY

Геометрический смысл коэффициента b – длина отрезка, который отсекает прямая по оси Oy, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k – угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox, считается против часовой стрелки.

Свойства линейной функции:

1) Область определения линейной функции есть вся вещественная ось;

2) Если k ≠ 0, то область значений линейной функции есть вся вещественная ось. Если k = 0, то область значений линейной функции состоит из числа b;

3) Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b.

a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b – четная;

b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx – нечетная;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b – функция общего вида;

d) b = 0, k = 0, следовательно y = 0 – как четная, так и нечетная функция.

4) Свойством периодичности линейная функция не обладает;

5) Точки пересечения с осями координат:

Ox: y = kx + b = 0, x =  -b/k, следовательно (-b/k; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.

Oy: y = 0k + b = b, следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат.

Замечание.Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х. Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в ноль ни при каких значениях переменной х.

6) Промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – положительна при x из (-b/k; +∞),

y = kx + b – отрицательна при x из (-∞; -b/k).

b) k < 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – положительна при x из (-∞; -b/k),

y = kx + b – отрицательна при x из (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения,

k = 0, b < 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k.

k > 0, следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения,

k < 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

8) Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b

Подведем итоги в виде таблицы: