Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Помогите, прошу ! даю все баллы, что есть..

    задание - Найти частное решение линейного неоднородного уравнения 2-го порядка.

Ответы 1

  • Найти частное решение линейного неоднородного уравнения 2-го порядка.

    Алгоритм решения неоднородного ДУ следующий:

    1) Сначала нужно найти общее решение соответствующего однородного уравнения y``+y`-2y=0

    Составим и решим характеристическое уравнение:

    \displaystyle k^2+k-2=0\\\\D=1+8=9\\\\k_1=1; k_2=-2

    получены различные действительные корни, поэтому общее решение:

    \displaystyle y=C_1*e^{-2x}+C_2*e^{x}

    2) Теперь нужно найти какое-либо частное решение  неоднородного уравнения

    в правой части 4e²ˣ-2x+1. Значит предположу что частное решение неоднородного уравнения нужно искать в виде: y=Аe²ˣ+Bx+C

    Найдём первую и вторую производную:

    \displaystyle y`=(A*e^{2x}+Bx+C)`=2A*e^{2x}+B\\\\y``=(2A*e^{2x}+B)`=4A*e^{2x}

    подставим в левую часть

    \displaystyle y``+y`-2y=4A*e^{2x}+(2A*e^{2x}+B)-2(Ae^{2x}+Bx+C)=\\\\=4Ae^{2x}+2Ae^{2x}+B-2Ae^{2x}-2Bx-2C=\\\\=4Ae^{2x}-2Bx+(B-2C)

    и теперь приравняем к правой

    \displaystyle 4Ae^{2x}-2Bx+(B-2C)=4e^{2x}-2x+1

    отсюда составим систему

    \displaystyle \left \{ {{4A=4; -2B=-2} \atop {B-2C=1}} ight. \]\\\\A=1; B=1;C=0

    3) Запишем общее решение неоднородного уравнения:

    \displaystyle y=C_1e^{-2x}+C_2*e^{x}+e^{2x}+x

    4) теперь найдем частное решение

    y(0)=3; y`(0)=5

    \displaystyle y(0)=C_1+C_2+1=3; C_1+C_2=2\\\\y`(0)=-2C_1+C_2+2=5; C_2-2C_1=3\\\\

    решая систему получим

    \displaystyle C_2=2-C_1\\\\2-C_1-2C_1=3; C_1=-\frac{1}{3}\\\\ C_2=\frac{7}{3}

    Ответ:

    \displaystyle y= -\frac{1}{3}e^{-2x}+\frac{7}{3}e^x+e^{2x}+x

    • Автор:

      zena
    • 5 лет назад
    • 0

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years