Найдите все пары натуральных чисел, у которых сумма в три раза меньше произведения.

Найдите все пары натуральных чисел, у которых сумма в три раза меньше произведения.
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  hood
- 5 лет назад

Ответы 1

Ответ:
Всего три пары - $(6,6),\, (4,12), (12,4)$
Объяснение:
Для того чтобы решить задачу, нужно правильно сформулировать проблему -
"Требуется найти все пары $(x,y)$ , где $x, y \in \mathbb N$ так что $3(x+y)=xy$ ."
Из равенства $3(x+y)=xy$ очевидно что $xy$ делится на 3. Следовательно хотя бы одно из чисел $x, y$ делится на 3. Без огранчения общности, предположим что $x = 3m, \, m\in \mathbb N$ .
Следовательно, высшеупомянотое равенство преообразовывается в
$3m + y =my$ , из которого выводим $\displaystyle y = \frac{3m}{m-1}$ .
Заметим что отсюда выходит что, $\displaystyle y-3=\frac{3}{m-1}$ .
Т.к. $y$ цело только и только тогда, когда $y-3$ цело, то следовательно, 3 должно делится на $m-1$ .
Число 3 делится только на четыре числа - 3, -3, 1, -1. Но лишь только два из них подходят - 3 и 1.
Следовательно,
$m-1 = 1$ или $m-1 = 3$ .
Т.е.,
$m=2$ или $m =4$
Отсюда получаем две пары - $(6,6),(12,4)$ . Однако очевидно, что также и пара $(4,12)$ подходит.
- Автор:
  toribioq61x
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ