• Решите уравнение:
    [tex]\frac{sinx}{sin3x} +\frac{sin5x}{sinx} =8cosxcos3x[/tex]

Ответы 2

  • в ответах написано x=п/2+пk, x=п/8+пk/4
  • \frac{\sin x}{\sin 3x} + \frac{\sin 5x}{\sin x}=8\cos x \cos3x\; |\times \sin3x\sin x (А затем проверим теряем ли мы корни)

    Получаем: \sin^{2}x+\sin5x\sin 3x=8\cos x\sin x\cos3x\sin3x \Leftrightarrow \sin^{2}x+\sin5x\sin 3x=2\sin2x\sin6x; Подберем такие a и b, что \cos5x\sin3x=\cos a-\cos b; Это легко сделать по формуле суммы косинусов. Получаем систему \left \{ {{a+b=10x} \atop {b-a=6x}} ight. \Leftrightarrow b=8x,\; a=2x; Аналогично делаем и в правой части уравнения. В итоге (после умножения на 2 обеих частей):

    2\sin^{2}x+\cos2x-\cos8x=2\cos4x-2\cos8x \Leftrightarrow -\cos2x+1+\cos2x-\cos8x=2\cos4x-2\cos8x

    Наконец,  1=2\cos4x-\cos8x; Сделаем замену:t=4x

    1=\cos t-\cos2t \Leftrightarrow 1=\cos t-2\cos^{2}t+1 \Leftrightarrow \cos t(1-2\cos t)=0; Сделав обратную замену, приходим к ответу: \frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{4},\; k\in \mathbb{Z} \\\frac{\pi}{12}+\frac{\pi l}{2},\; l\in \mathbb{Z}\\\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\; n\in \mathbb{Z}. Краткая проверка показывает, что ни один из корней этих серий решений не удовлетворяет решениям \sin3x\sin x =0

    • Автор:

      raven43
    • 5 лет назад
    • 0
  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Войти через Google

или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years