Решить уравнение
[tex] {x}^{3} + 6 { x}^{2} + 9x + 9 = 0[/tex]

Для вычисления корней данного кубического уравнения используются формулы Кардано.

Исходное уравнение приводится к виду: y^3+py+q=0.

Здесь применяются следующие формулы:

p=-b^2/(3a^2 )+c/a,  q=(2b^3)/(27a^3 )-bc/(3a^2 )+d/a.

где  

a -  коэффициент при x^3,

b - коэффициент при x^2,

c - коэффициент при x,  

d - свободный член.

Подставим наши значения в данные формулы, мы получим:  

p = -3, q = 7.

Потом использовав формулу: Q = (p/3)³  + (q/2)², вычислим количество корней кубического уравнения. Если:

Q > 0 — один вещественный корень и два сопряженных комплексных корня;

Q < 0 — три вещественных корня;

Q = 0 — один однократный вещественный корень и один двукратный, или, если p = q = 0, то один трехкратный вещественный корень.

В нашем случае Q = 11,25, будем иметь один вещественный корень и два сопряженных комплексных корня.

А сами корни найдём по следующим формулам:

x1  = α + β − (b/3a);

x2,3  = −((α+β)/2)  − (b/3a)  ± i((α−β)/2)√3;

где α = (−(q/2)  + √Q)^(1/3),  β =  (−(q/2) − √Q)^(1/3).

Подставив наши значения в выше указанные формулы вычислим что:  

α = −0,5264, β = −1,8995

x1  = −4,42599; это вещественный корень.

x2,3  =−0,787 ± i·1.1891.