Решить дифференциальное уравнение tgx*y''-y'+1/sinx=0 - Дата: 02.07.2019, Автор: tiger48 - Знания.site

Решить дифференциальное уравнение tgx*y''-y'+1/sinx=0
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  tiger48
- 5 лет назад

Ответы 1

Ответ:
Объяснение:
Понизим порядок дифференциального уравнения с помощь замены y' = z, тогда y'' = z', получаем
$z'{m tg}\, x-z+\dfrac{1}{\sin x}=0~~~~~|\cdot {m ctg}\, x$
$z'-z{m ctg}\, x=-{m ctg}\, x\cdot \dfrac{1}{\sin x}$
Умножив левую и правую части уравнения на $\mu(x)=e^{\int -{m ctg}\, x dx}=\dfrac{1}{\sin x}$ , мы получим
$\dfrac{1}{\sin x}z'-{m ctg}\, x\cdot \dfrac{1}{\sin x}z=-{m ctg}\, x\cdot \dfrac{1}{\sin^2 x}\\ \\ \dfrac{1}{\sin x}\cdot\dfrac{dz}{dx}-\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{\sin x}ight)\cdot z=-{m ctg}\, x\cdot \dfrac{1}{\sin^2 x}\\ \\ \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{z}{\sin x}ight)=-{m ctg}\, x\cdot \dfrac{1}{\sin^2 x}$
Проинтегрируем обе части уравнения
$\displaystyle \dfrac{z}{\sin x}=\int {m ctg}\, xd\left({m ctg}\, xight)=\dfrac{{m ctg}^2x}{2}+C_1\\ \\ z=\dfrac{\cos^2x}{2\sin x}+C_1\sin x\\ \\ y=\int \left(\dfrac{\cos^2x}{2\sin x}+C_1\sin xight)dx=\dfrac{\cos x}{2}-\dfrac{1}{2}\ln\bigg|\dfrac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\bigg|-C_1\cos x+C_2$
или это сводится к $y=-\dfrac{1}{2}\ln\bigg|\dfrac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\bigg|+C_1\cos x+C_2$
- Автор:
  omary6jr
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ

Еще вопросы

How much to ban the user?

1 hour 1 day 100 years