Логарифмическое неравенство по переменному основанию.
Решите, пожалуйста, расписывая, подробно

log (x²) (2x + 3) ≤ 1

ОДЗ x²>0   x≠0

x²≠1   x≠-1  x≠1

2x+3 > 0   x>-3/2

log f(x)   g(x) ≤ log f(x)  h(x) аналогичен (f(x) - 1)(g(x) - g(x)) ≤ 0

log (x²) (2x + 3)   ≤ log (x²) x²

(x² - 1)(2x + 3 - x²) ≤ 0

(x - 1)(x+1)(x² - 2x -3)≥0

разложим x² - 2x -3 =(x+1)(x-3)   D=4 + 12 = 16    x12=(2+-4)/2 = -1  3

(x - 1)(x+1)(x + 1)(x -3) ≥ 0

(x + 1)²(x - 1)(x -3) ≥ 0

применяем метод интервалов

++++++++[-1] +++++++ [1] ------------ [3] ++++++++++++

x∈(-∞  1]  U [3  +∞)

+ ОДЗ  x>-3/2  x≠ 0 x≠-1 x≠1

Ответ x∈(-3/2  -1) U (-1 0) U (0 1) U [3  +∞)

Ответ: x∈(-1,5;-1)U[3;+∞).

Объяснение:

logₓ²(2x+3)≤1

ОДЗ: x²>0  ⇒  x≠0     x²≠1    x≠-1     x≠1    2x+3>0   2x>-3    x>-1,5    ⇒

x∈(-1,5;-1 )U(-1;0)U(0;1)U(1;+∞).

logₓ²(2x+3)≤logₓ²(x²)

1. x∈(-1,5;-1)U(1;+∞)

2x+3≤x²

x²-2x-3≥0

x²-2x-3=0    D=16    √D=4

x₁=3      x₂=-1    ⇒

(x+1)(x-3)≥0

-∞__+__-1__-__3__+__+∞     x∈(-∞;-1)U[3;+∞)   ⇒

x∈(-1,5;-1)U[3;+∞).

2. x∈(-1;0)U(0;1)

2x+3≥x²

x²-2x-3≤0

x²-2x-3=0    D=16    √D=4

x₁=3      x₂=-1    ⇒

(x+1)(x-3)≤0

-∞__+__-1__-__3__+__+∞   x∈(-1;3].     ⇒

x∈(-1;0)U(0;1).

Согласно ОДЗ: x∈(-1,5;-1)U(-1;0)U(0;1)U[ 3;+∞).